伪黎曼流形
2020-03-29 10:05:45
在微分几何中,伪黎曼流形(英语:Pseudo-Riemannian manifold),也称为半黎曼流形,是一光滑流形,其上有一光滑、对称、点点非退化的
(
0
,
2
)
{displaystyle (0,2)}
张量。此张量称为伪黎曼度量或伪度量张量。伪黎曼流形与黎曼流形的区别是它不需要正定(通常要求非退化)。因为每个正定形式都是非退化的,所以黎曼度量也是一个伪黎曼度量,亦即黎曼流形是伪黎曼流形的一种特例。每一个非退化对称,双线性形式有一个固定的度量符号
(
p
,
q
)
{displaystyle (p,q)}
。这里
p
{displaystyle p}
与
q
{displaystyle q}
记作正特征值及负特征值的个数。注意
p
+
q
=
n
{displaystyle p+q=n}
是流形的维数。黎曼流形就是以
(
n
,
0
)
{displaystyle (n,0)}
作为符号。伪黎曼流形的符号
(
p
,
1
)
{displaystyle (p,1)}
称为洛伦兹度量。拥有洛伦兹度量的流形都是洛伦兹流形。除黎曼流形外,洛伦兹流形是伪黎曼流形的最重要的子类。因为它常被用于广义相对论。广义相对论首要假设是时空可以转为拥有
(
3
,
1
)
{displaystyle (3,1)}
符号的洛伦兹流形的模型。和欧几里得空间
R
n
{displaystyle mathbf {R} ^{n}}
可以被认为是黎曼流形的模型一样,,有平坦闵可夫斯基度量的闵可夫斯基空间(Minkowski space)
R
p
,
1
{displaystyle mathbf {R} ^{p,1}}
是洛伦兹流形的模型空间。特征数为
(
p
,
q
)
{displaystyle (p,q)}
的伪黎曼流形的模型空间是有如下伪度量的
R
p
,
q
{displaystyle mathbf {R} ^{p,q}}
:有些黎曼度量的基本定理可以推广到伪黎曼的情形。例如黎曼几何基本定理对伪黎曼流形也成立。这使得我们能够在伪黎曼流形上能够使用列维-奇维塔联络和相关的曲率张量。另一方面,黎曼几何的很多定理在推广到伪黎曼的情况下不成立。例如,并不是每个光滑流形都可以有一个给定符号的伪黎曼度量;因为有一些特殊的拓扑阻碍存在。