在量子力学里，一个量子系统的量子态可以抽象地用态矢量来表示。态矢量存在于内积空间。定义内积空间为增添了一个额外的内积结构的矢量空间。态矢量满足矢量空间所有的公理。态矢量是一种特殊的矢量，它也允许内积的运算。态矢量的范度是1，是一个单位矢量。标记量子态 ψ {\displaystyle \psi \,\!} 的态矢量为 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} 。

每一个内积空间都有单范正交基。态矢量是单范正交基的所有基矢量的线性组合：

其中， | e 1 ⟩ , | e 2 ⟩ , … , | e n ⟩ {\displaystyle |e_{1}\rangle ,\,|e_{2}\rangle ,\,\dots ,\,|e_{n}\rangle \,\!} 是单范正交基的基矢量， n {\displaystyle n\,\!} 是单范正交基的基数， c 1 , c 2 , … , c n {\displaystyle c_{1},\,c_{2},\,\dots ,\,c_{n}\,\!} 是复值的系数，是 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} 的分量， c i {\displaystyle c_{i}\,\!} 是 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} 投射于基矢量 | e i ⟩ {\displaystyle |e_{i}\rangle \,\!} 的分量，也是 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} 处于 | e i ⟩ {\displaystyle |e_{i}\rangle \,\!} 的概率幅。

换一种方法表达：

在狄拉克标记方法里，态矢量 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} 称为右矢。对应的左矢为 ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |\,\!} ，是右矢的厄米共轭，用方程表达为

其中， † {\displaystyle \dagger \,\!} 象征为取厄米共轭。

设定两个态矢量 | α ⟩ = ( a 1 , a 2 , … , a n ) T {\displaystyle |\alpha \rangle =(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})^{T}\,\!} ， | β ⟩ = ( b 1 , b 2 , … , b n ) T {\displaystyle |\beta \rangle =(b_{1},\,b_{2},\,\dots ,\,b_{n})^{T}\,\!} 。定义 | α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle \,\!} 内积 | β ⟩ {\displaystyle |\beta \rangle \,\!} 为

这内积的结果是一个复数。

1）共轭复数

| β ⟩ {\displaystyle |\beta \rangle \,\!} 内积 | α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle \,\!} 是 | α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle \,\!} 内积 | β ⟩ {\displaystyle |\beta \rangle \,\!} 的共轭复数：

2）归一性

定义 | α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle \,\!} 内积 | α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle \,\!} 的平方根为 | α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle \,\!} 的范数，标记为 | α | {\displaystyle |\alpha |\,\!} 。由于态矢量满足归一性，态矢量的范数必定等于1：

3）柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式阐明：

费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修. 费曼物理学讲义III (2)量子力学应用. 台湾: 天下文化书. 2006: pp. 10–17. ISBN 986-417-672-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link)