在数学领域，1 + 2 + 4 + 8 + … 是一个无穷级数，它的每一项都是2的幂。作为几何级数，它以 1 为首项，2 为公比。

作为实数级数，他发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。

如果以代数运算的方式来计算这个数列的和，虽然可以得到∞以及-1这两个值，但这必须在更广泛的意义中才能成立。

在历史和数学教育，1 + 2 + 4 + 8 + …是正项发散几何级数的一个基本例子。许多结果和争论引出了许多类似级数，其他的例子如2 + 6 + 18 + 54 + …。

1 + 2 + 4 + 8 + … 的部分和数列是 1, 3, 7, 15, …，由于该数列发散到无穷，所以部分和数列也发散到无穷。因此任何通常求和方法得到的和将是无穷，包括切萨罗求和法和阿贝尔求和法。

另一方面，有一种广义方法使得 1 + 2 + 4 + 8 + … 的和为有限值 -1。相应的幂级数

的收敛半径为 1/₂，因此它在 = 1 时不收敛。然而，这样定义的函数 在去掉点 = 1/₂ 后，具有到复平面唯一的解析开拓，并且具有相同的形式 (x) = 1/(1 − 2)。由于 (1) = −1，原级数 1 + 2 + 4 + 8 + … 是可求和的 ()，其和为 −1，并且 -1 是级数的()和。（此标识方式是由戈弗雷·哈罗德·哈代参考莱昂哈德·欧拉在无穷级数上的研究而得）

用几乎完全相同的方法可以考虑系数为 1 的幂级数，例如

并用 = 2 代入。当然这两个级数可由关系式 = 2 等价转换。

事实上()和为1 + 2 + 4 + 8 + …分配了一个有限值，这表明广义方法不是完全符合惯例的。另一方面，他具有某些求和法可取的性质，包括稳定性和线性性质。这些后面的两个公理实际上强制级数的和为 -1，因此它令下面的操作有效：

在某种意义下， = ∞ 是方程 = 1 + 2的一个解（例如∞是黎曼球上莫比乌斯变换 → 1 + 2 的两个不动点之一）。如果某种已知的求和方法返回一个常数，不是∞，那么这是容易确定的。在这种情形下可能由方程的两边消去，得到 0 = 1 + ，所以 = −1。