类氢原子（hydrogen-like atom）是只拥有一个电子的原子，与氢原子同为等电子体，例如，He+, Li2+, Be3+与B4+等等都是类氢原子，又称为“类氢离子”。类氢原子只含有一个原子核与一个电子，是个简单的二体系统，系统内的作用力只跟二体之间的距离有关，是反平方有心力。这反平方有心力二体系统不需再加理想化，简单化。描述这系统的（非相对论性的）薛定谔方程有解析解，也就是说，解答能以有限数量的常见函数来表达。满足这薛定谔方程的波函数可以完全地描述电子的量子行为。在量子力学里，类氢原子问题是一个很简单，很实用，而又有解析解的问题。所推演出来的基本物理理论，又可以用简单的实验来核对。所以，类氢原子问题是个很重要的问题。

称满足上述系统的薛定谔方程的波函数为单电子波函数，或类氢原子波函数。类氢原子波函数是单电子角动量算符 ${\displaystyle L}$ 与其 z-轴分量算符 ${\displaystyle L_z}$ 的本征函数。由于能量本征值 ${\displaystyle E_n}$ 跟量子数 ${\displaystyle l}$ ，${\displaystyle m}$ 无关，而只跟主量子数 ${\displaystyle n}$ 有关。所以，类氢原子波函数可以由主量子数 ${\displaystyle n}$ 、角量子数 ${\displaystyle l}$ 、磁量子数 ${\displaystyle m}$ ，独特地决定。因为构造原理，还必须加上自旋量子数 ${\displaystyle m_s=\pm <!--\; \pm \; -->1/2}$ 。对于多电子原子，这原理限制了电子构型的四个量子数。对于类氢原子，所有简并的轨域形成了一个电子层；每一个电子层都有其独特的主量子数 ${\displaystyle n}$ ．这主量子数决定了电子层的能量。主量子数也限制了角量子数 ${\displaystyle l}$ 、磁量子数 ${\displaystyle m}$ 、自旋量子数 ${\displaystyle m_s}$ 的值域。

除了氢原子（电中性）以外，类氢原子都是离子，都带有正电荷量 ${\displaystyle e(Z-<!--\; -\; -->1)}$ ；其中，${\displaystyle e}$ 是单位电荷量，${\displaystyle Z}$ 是原子序数。离子像He+、Li2+、Be3+、B4+、等等，都是类氢原子。

在元素周期表中，第 IA 族的碱金属元素，其原子的最外电子层都有一个电子，而第二外层电子层的亚层，不论是 s 亚层或 p 亚层，凡是内中有电子的亚层．都已被填满。例如，钠元素有11个电子。电子排布为 ${\displaystyle 1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^1}$ 。最外层只有一个电子。第二外层的 ${\displaystyle 2s}$ 与 ${\displaystyle 2p}$ 亚层都已填满。钾元素有19个电子。电子排布为 ${\displaystyle 1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{2}3p^{6}4s^1}$ 。第二外层的 ${\displaystyle 3s}$ 与 ${\displaystyle 3p}$ 亚层都已填满。由于 ${\displaystyle 3p}$ 亚层的轨域的能量较高，最外层唯一的一个电子的轨域是 ${\displaystyle 4s}$ 。受到内层电子的紧密屏蔽，这最外层的电子只能感受到大约为一个质子的存在。有效原子序数是 1 。所以，这碱金属的单电子系统可以视为一个类氢原子系统。可以用原子序数为 1 的类氢原子波函数，来近似地表达这电子的量子态。

因为电子与电子之间的库仑相互作用，拥有多个电子的原子或离子没有解析解，必须用数值法来做量子力学计算，才能求得近似的波函数以及其它有关性质。由于哈密顿量的球对称性，一个原子的角动量 ${\displaystyle L}$ 守恒。许多数值程序，开始于单电子算符 ${\displaystyle L^2}$ 与 ${\displaystyle L_z}$ 的本征函数的乘积。所计算出来的波函数的径向部分 有时会是数值列表或斯莱特轨域 (Slater orbitals) 。应用角动量偶合方法 (angular momentum coupling) ，可以设定 ${\displaystyle L}$ （或许也可以设定 ${\displaystyle S}$ ）的多电子本征函数。

类氢原子问题的薛定谔方程为

其中，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$ 是约化普朗克常数，${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$ 是电子与原子核的约化质量，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$ 是量子态的波函数，${\displaystyle E}$ 是能量，${\displaystyle V(r)}$ 是库仑位势：

其中，${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}$ 是真空电容率，${\displaystyle Z}$ 是原子序，${\displaystyle e}$ 是单位电荷量，${\displaystyle r}$ 是电子离原子核的距离。

采用球坐标 ${\displaystyle (r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$，将拉普拉斯算子展开：

猜想这薛定谔方程的波函数解 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$ 是径向函数 ${\displaystyle R_{nl}(r)}$ 与球谐函数 ${\displaystyle Y_{lm}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$ 的乘积：

参数为天顶角和方位角的球谐函数，满足角部分方程

其中，非负整数 ${\displaystyle l}$ 是轨角动量的角量子数。磁量子数 ${\displaystyle m}$ （满足 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->l\le <!--\; \le \; -->m\le <!--\; \le \; -->l}$ ）是轨角动量对于 z-轴的（量子化的）投影。不同的 ${\displaystyle l}$ 与 ${\displaystyle m}$ 给予不同的轨角动量函数解答 ${\displaystyle Y_{lm}}$ ：

其中，${\displaystyle i}$ 是虚数单位，${\displaystyle P_{lm}(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$ 是伴随勒让德多项式，用方程定义为

而 ${\displaystyle P_l(x)}$ 是 ${\displaystyle l}$ 阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为

径向函数满足一个一维薛定谔方程：

方程左边的第二项可以视为离心力位势，其效应是将径向距离拉远一点。

除了量子数 ${\displaystyle \mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$ 与 ${\displaystyle m}$ 以外，还有一个主量子数 ${\displaystyle n}$ 。为了满足 ${\displaystyle R_{nl}(r)}$ 的边界条件，${\displaystyle n}$ 必须是正值整数，能量也离散为能级 ${\displaystyle E_n=-<!--\; -\; -->\left(\frac{Z^2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{e}^4}{32{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0^2{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\right)\frac{1}{n^2}=\frac{-<!--\; -\; -->13.6Z^2}{n^2}(eV)}$ 。随着量子数的不同，函数 ${\displaystyle R_{nl}(r)}$ 与 ${\displaystyle Y_{lm}}$ 都会有对应的改变。按照惯例，规定用波函数的下标符号来表示这些量子数。这样，径向函数可以表达为

其中，${\displaystyle a_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{e}^2}}$ 。 ${\displaystyle a_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 近似于玻尔半径 ${\displaystyle a_0}$ 。假若，原子核的质量是无限大的，则 ${\displaystyle a_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=a_0}$ ，并且，约化质量等于电子的质量，${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=m_e}$ 。 ${\displaystyle L_{n-<!--\; -\; -->l-<!--\; -\; -->1}^{2l+1}}$ 是广义拉格耳多项式，定义为

其中，${\displaystyle L_{i+j}(x)}$ 是拉格耳多项式，可用罗德里格公式表示为

为了要结束广义拉格耳多项式的递回关系，必须要求 。

知道径向函数 ${\displaystyle R_{nl}(r)}$ 与球谐函数 ${\displaystyle Y_{lm}}$ 的形式，可以写出整个量子态的波函数，也就是薛定谔方程的整个解答：

量子数 ${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle l}$ ，${\displaystyle m}$ 都是整数，容许下述值：

为什么 ？为什么 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->l\le <!--\; \le \; -->m\le <!--\; \le \; -->l}$ ？若想进一步知道关于这些量子数的群理论，敬请参阅氢原子量子力学。

每一个原子轨域都有特定的角动量矢量 ${\displaystyle \mathbf{L}}$ 。它对应的算符是一个矢量算符 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{L}}}$ 。角动量算符的平方 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}^2\equiv <!--\; \equiv \; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_x^2+{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_y^2+{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_z^2}$ 的本征值是

角动量矢量对于任意方向的投影是量子化的。设定此任意方向为 z-轴的方向，则量子化公式为

因为 ${\displaystyle =0}$ ，${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}^2}$ 与 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_z}$ 是对易的，${\displaystyle L^2}$ 与 ${\displaystyle L_z}$ 彼此是相容可观察量，这两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理，以同时地测量到 ${\displaystyle L^2}$ 与 ${\displaystyle L_z}$ 的同样的本征值。

由于 ${\displaystyle =i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_z}$ ，${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_x}$ 与 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_y}$ 互相不对易，${\displaystyle L_x}$ 与 ${\displaystyle L_y}$ 彼此是不相容可观察量，这两个算符绝对不会有共同的基底量子态。一般而言，${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_x}$ 的本征态与 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_y}$ 的本征态不同。

给予一个量子系统，量子态为 ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。对于可观察量算符 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_x}$ ，所有本征值为 ${\displaystyle l_{xi}}$ 的本征态 ${\displaystyle |f_i⟩<!--\; ⟩\; -->,i=1,2,3,\cdots <!--\; \cdots \; -->}$ ，形成了一组基底量子态。量子态 ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 可以表达为这基底量子态的线性组合：${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}|f_i⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->f_i|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。对于可观察量算符 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_y}$ ，所有本征值为 ${\displaystyle l_{yi}}$ 的本征态 ${\displaystyle |g_i⟩<!--\; ⟩\; -->,i=1,2,3,\cdots <!--\; \cdots \; -->}$ ，形成了另外一组基底量子态。量子态 ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 可以表达为这基底量子态的线性组合：${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}|g_i⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->g_i|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。

假若，测量可观察量 ${\displaystyle L_x}$ ，得到的测量值为其本征值 ${\displaystyle l_{xi}}$ ，则量子态概率地坍缩为本征态 ${\displaystyle |f_i⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。假若，立刻再测量可观察量 ${\displaystyle L_x}$ ，得到的答案必定是 ${\displaystyle l_{xi}}$ ，在很短的时间内，量子态仍旧处于 ${\displaystyle |f_i⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。可是，假若改为立刻测量可观察量 ${\displaystyle L_y}$ ，则量子态不会停留于本征态 ${\displaystyle |f_i⟩<!--\; ⟩\; -->}$ ，而会概率地坍缩为 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_y}$ 本征值是 ${\displaystyle l_{yj}}$ 的本征态 ${\displaystyle |g_j⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 。这是量子力学里，关于测量的一个很重要的特性。

根据不确定性原理，

${\displaystyle L_x}$ 的不确定性与 ${\displaystyle L_y}$ 的不确定性的乘积 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{L}_x\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{L}_y}$ ，必定大于或等于 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}|⟨<!--\; ⟨\; -->L_z⟩<!--\; ⟩\; -->|}{2}}$ 。

类似地，${\displaystyle L_x}$ 与 ${\displaystyle L_z}$ 之间，${\displaystyle L_y}$ 与 ${\displaystyle L_z}$ 之间，也有同样的特性。

电子的总角动量必须包括电子的自旋。在一个真实的原子里，因为电子环绕着原子核移动，会感受到磁场。电子的自旋与磁场产生作用 ，这现象称为自旋-轨道作用。当将这现象纳入计算，自旋与角动量不再是保守的，可以将此想像为电子的进动。为了维持保守性，必须取代量子数 ${\displaystyle l}$ 、${\displaystyle m}$ 与自旋的投影 ${\displaystyle m_s}$ ，而以量子数 ${\displaystyle j}$，${\displaystyle m_j}$ 来计算总角动量。

在原子物理学里，因为一阶相对论性效应，与自旋-轨道耦合，而产生的原子谱线分裂，称为精细结构。

非相对论性，无自旋的电子产生的谱线称为粗略结构。类氢原子的粗略结构只跟主量子数 ${\displaystyle n}$ 有关。可是，更精确的模型，考虑到相对论效应与自旋-轨道效应，能够分解能级的简并，使谱线能更精细地分裂。相对于粗略结构，精细结构是一个 ${\displaystyle (Z\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}^2}$ 效应；其中，${\displaystyle Z}$ 是原子序数，${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ 是精细结构常数。

在相对论量子力学里，狄拉克方程可以用来计算电子的波函数。用这方法，能级跟主量子数 ${\displaystyle n}$ 、总量子数 ${\displaystyle j}$ 有关，容许的能量为

思考类氢原子稳定性问题，应用经典电动力学来分析，则由于库仑力作用，束缚电子会被原子核吸引，呈螺线运动掉入原子核，同时辐射出无穷大能量，因此原子不具有稳定性。但是，在大自然里这虚拟现象实际并不会发生。那么，为什么类氢原子的束缚电子不会掉入原子核里？应用量子力学，可以计算出类氢原子系统的基态能量大于某有限值，称这结果为满足“第一种稳定性条件”，即类氢原子的基态能量 ${\displaystyle E_0}$ 大于某有限值：:10

量子力学的海森堡不确定性原理 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}p\ge <!--\; \ge \; -->\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}/2}$ 可以用来启发性地说明这问题，电子越接近原子核，电子动能越大。但是海森堡不确定性原理不能严格给出数学证明，有些特别案例不能满足第一种稳定性条件，因为 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}$ 量度的是波函数的半宽度，而不是波函数集聚于原子核附近的程度，所以波函数可以拥有一定的半宽度，并且极度集聚于原子核附近，造成库仑势能趋于 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$ ，同时维持有限的动能。

更详细分析起见，只考虑类氢原子系统，给定原子的原子序 ${\displaystyle Z}$ ，原子的能量 ${\displaystyle E}$ 为

其中，${\displaystyle T}$ 为动能，${\displaystyle V}$ 为势能，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$ 为描述类氢原子系统的波函数，${\displaystyle x}$ 为位置坐标，${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$ 为积分体积。

应用索博列夫不等式，经过一番运算，可以得到能量最大下界为。

其中，${\displaystyle Ry}$ 是能量单位里德伯，大约为13.6eV。

总结，类氢原子满足第一种稳定性条件这结果。