${\displaystyle \mathbb{N}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{Z}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{Q}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{R}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{C}}$进数
数学常数

圆周率 ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=3.141592653\dots <!--\; \dots \; -->}$-阶多项式能有多于 个不同的根。例如方程 ${\displaystyle h^2+1=0}$)，它的共轭作用是一个角度为2的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：

所有单位四元数的集合组成一个三维球3和在乘法下的一个群（一个李群）。3是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群(3,R)的双重复盖，因为每单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群3和(2)同构，(2)是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令为形为 + + + 的四元数的集合，其中, , 和或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合是一个环，并且是一个格。该环中存在24个四元数，而它们是施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。

有两种方法能以矩阵表示四元数，并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。

第一种是以二阶复数矩阵表示。四元数的三个元素i、j、k采用矩阵表示法（其中斜体字${\displaystyle i}$_x、_y、_z为泡利矩阵）：

则任意四元数 = + i + j + k的矩阵形式为：

这种表示法有如下优点：

第二种则是以四阶实数矩阵表示（相当与把上述表示中的复数再换成其矩阵表示）： 是一个域，且 、 为 的元素，那么就可在 上定义一个四维单一结合代数，而它的产生是由符合 2 = 、2 = 和 的 、 而起。这些代数不是与 的二阶矩阵代数同型，就是 的除法代数。它们称为“四元数代数”。

四元数是由哈密顿在1843年爱尔兰发现的。当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数。根据哈密顿记述，他于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河（Royal Canal）上散步时突然想到

的方程解。之后哈密顿立刻将此方程刻在附近布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。这条方程放弃了交换律，是当时一个极端的想法（那时还未发展出矢量和矩阵）。

不只如此，哈密顿还创造了矢量的内外积。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个标量（）和矢量（）的组合。若两个标量部为零的四元数相乘，所得的标量部便是原来的两个矢量部的标量积的负值，而矢量部则为矢量积的值，但它们的重要性仍有待发掘。

哈密顿之后继续推广四元数，并出了几本书。最后一本《四元数的原理》（）于他死后不久出版，长达八百多页。

即使到目前为止四元数在某些领域的用途仍在争辩之中。一些哈密顿的支持者非常反对奥利弗·亥维赛的矢量代数和约西亚·吉布斯的矢量分析的发展，以维持四元数的超然地位。对于三维空间这可以讨论，但对于更高维四元数就失效了（但可用延伸如八元数和克利福德代数）。而事实上，在20世纪中叶的科学和工程界中，矢量几乎已完全取代四元数的位置。

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦曾经在他的《电磁场动力理论》（）直接以20条有20个变数的微分方程组来解释电力、磁力和电磁场之间的关系。某些早期的麦克斯韦方程组使用了四元数来表述，但与后来亥维赛使用四条以矢量为基础的麦克斯韦方程组表述相比较，使用四元数的表述并没有流行起来。

事实上，四元数是常被数学家称为几何代数的clifford代数的一个子代数，而后者已经得到很好的研究和应用，尤其是在理论物理中。例如可以用几何代数将狭义相对论和经典电动力学表述为非常优美的形式，量子力学中讨论自旋常用的泡利矩阵实际上也是几何代数的一个子代数的矩阵表示，类似的例子还有对经典力学中刚体的转动的不可交换性的表述。

爱尔兰国家大学梅努斯分校由1989年开始举办纪念发现人哈密顿的徒步活动，活动行程由Dunsink天文台起始，到皇家运河结丛，参与者包括数学家盖尔曼（2002年）和安德鲁·怀尔斯（2003年），可惜途中已找不到哈密顿的刻石。

四元数大量用于电脑绘图（及相关的图像分析）上表示三维物件的旋转及方位。四元数亦见于控制论、信号处理、姿态控制（英语：Attitude control）、物理、轨道力学和生物信息学， 都是用来表示旋转和方位。

相对于另两种旋转表示法（矩阵和欧拉角），四元数具有某些方面的优势，如速度更快、提供平滑插值、有效避免万向锁问题、存储空间较小等等。