阿基米德公理
2020-03-28 06:27:16
在抽象代数和分析学中,以古希腊数学家阿基米德命名的阿基米德公理(又称阿基米德性质),是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质。粗略地讲,它是指没有无穷大或无穷小的元素的性质。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五,1883年,奥地利数学家Otto Stolz(英语:Otto Stolz)赋予它这个名字。这个概念源于古希腊对量的理论;如大卫·希尔伯特的几何公理,有序群、有序域和局部域的理论在现代数学中仍然起着重要的作用。阿基米德公理可表述为如下的现代记法:
对于任何实数
x
{displaystyle x}
,存在自然数
n
{displaystyle n}
有
n
>
x
{displaystyle n>x}
。在现代实分析中,这不是一个公理。它退却为实数具完备性的结果。基于这理由,常以阿基米德性质的叫法取而代之。简单地说,阿基米德性质可以认为以下二句叙述的任一句:这等价于说,对于任何正实数
a
{displaystyle a}
、
b
{displaystyle b}
,如果
a
<
b
{displaystyle a<b}
,则存在自然数
n
{displaystyle n}
,有实数的完备性蕴含了阿基米德性质,证明利用了反证法:假设对所有
n
{displaystyle n}
,
n
a
<
b
{displaystyle na<b}
(注意
n
a
{displaystyle na}
表示
n
{displaystyle n}
个
a
{displaystyle a}
相加),令
S
=
{
n
a
|
n
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
{displaystyle S={na|n=1,2,3,...}}
,则
b
{displaystyle b}
为
S
{displaystyle S}
的上界(
S
{displaystyle S}
上方有界,依实数完备性,必存在最小上界,令其为
α
{displaystyle alpha }
),于是
∀
n
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{displaystyle forall n=1,2,3,...}
有得出
α
−
a
{displaystyle alpha -a}
也是
S
{displaystyle S}
的一个上界,这与
α
{displaystyle alpha }
是最小上界矛盾。这样就由实数的完备性推出了阿基米德性质,但阿基米德性推不出实数的完备性,因为有理数满足阿基米德性,但并不是完备的。