在物理学里，无限深方形阱（infinite square potential），又称为无限深位势阱（infinite potential well），是一个阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大的位势阱。思考一个或多个粒子，永远地束缚于无限深位势阱内，无法逃出。关于这些粒子的量子行为的问题，称为无限深方形阱问题，又称为无限深位势阱问题，盒中粒子问题（particle in a box problem），是一个理论问题。假若，阱内只有一个粒子，则称为单粒子无限深方形阱问题。假若，阱内有两个粒子，则称为双粒子无限深方形阱问题。假若，这两个粒子是完全相同的粒子，则问题又复杂许多，称为双全同粒子无限深方形阱问题。在这里，只讨论单粒子无限深方形阱问题。

在经典力学里，应用牛顿运动定律，可以非常容易地求得无限深方形阱问题的解答。假设粒子与阱壁的碰撞是弹性碰撞，粒子的动能保持不变。则这粒子在方形阱的两阱壁之间来回移动，碰撞来，碰撞去，而速率始终保持不变。在任意时间，粒子在阱内各个位置的概率是均匀的。

在量子力学里，这问题突然变得很有意思。许多基要的概念，在这问题的解析中，呈现了出来。由于问题的理想化与简易化，应用薛定谔方程，可以很容易地，虽然并不是很直觉地，求得解答。满足这薛定谔方程的能量本征函数，是表达粒子量子态的波函数。每一个能量本征函数的能量，只能是离散能级谱中的一个能级。很令人惊讶的是，离散能级谱中最小的能级不是 0 ，而是一个有限值，称为零点能量！这系统的最小能级量子态的能级不是 0 。

更加地，假若测量粒子的位置，则会发现粒子在阱内各个位置的概率大不相同。在有些位置，找到粒子的概率是 0 ，绝对找不到粒子。这些结果与经典力学的答案迥然不同。可是，这些结果所根据的原理，早已在许多精心设计的实验中，广泛地证明是正确无误的。

在量子力学里，无限深方形阱问题是一个简单化的，理想化的问题。无限深方形阱是一个有限尺寸的位势阱，阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。在阱内，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移动于阱内。可是，阱壁是无限的高，粒子完全地束缚于阱内。为了删繁就简，先从一维问题开始，研讨粒子只移动于一维空间的问题。之后，可推广至二维与三维空间。

这问题的薛定谔方程解答，明确地呈现出粒子的某些量子行为。这些量子行为与实验的结果相符合；可是，与经典力学的理论预测，有很大的冲突。特别令人注目地是，这量子行为是自然地从边界条件产生的，而不是人为勉强加添造成的。这解答干净俐落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；与平常的想法恰恰相反，量子行为不是像变魔术一般变出来的。

无限深方形阱问题的粒子的量子行为包括：

不论这问题有多么地简单，由于能够完全地解析其薛定谔方程，这问题可以导致对量子力学有更深刻的理解。实际上，这问题也非常的重要。无限深方形阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统。例如，一个导电电子在一根直的，极细的奈米金属丝内的量子行为。更详细内容，请参阅条目奈米线。

一个粒子束缚于一维无限深方形阱内，阱宽为 ${\displaystyle L}$ 。阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（ ${\displaystyle x}$ 方向）。如图示，一维无限深方形阱的本征函数 ${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n}$ 与本征值 ${\displaystyle E_n}$ 分别为

其中，${\displaystyle n}$ 是正值的整数，${\displaystyle h}$ 是普朗克常数，${\displaystyle m}$ 是粒子质量。

一维不含时薛定谔方程可以表达为

其中，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$ 是复值的、不含时间的波函数，${\displaystyle V(x)}$ 是跟位置有关的位势，${\displaystyle E}$ 是正值的能量。

在阱内，位势 ${\displaystyle V(x)=0}$ 。一维不含时薛定谔方程约化为

这是一个已经经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$ 与本征值 ${\displaystyle E}$ 是

其中，${\displaystyle A}$ 与 ${\displaystyle B}$ 是常数，可以是复值，${\displaystyle k}$ 是实值的波数（因为 ${\displaystyle E}$ 是正值的，所以，${\displaystyle k}$ 必须是实数。）。

为了求得一般解 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$ 的常数 ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle B}$ ，与波数 ${\displaystyle k}$ 的值，必须具体表明这问题的边界条件。由于粒子趋向于位势低的地区，位势越高，找到粒子的概率 ${\displaystyle {\left|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)\right|}^2}$ 越小。在 ${\displaystyle x=0}$ ， ${\displaystyle x=L}$ 两个阱壁位置，位势无限的高，找到粒子的概率是微乎其微：${\displaystyle {\left|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)\right|}^2=0}$ 。所以，边界条件是

代入方程 (3a) 。在 ${\displaystyle x=0}$ ，可以得到

在 ${\displaystyle x=L}$ ，可以得到

方程 (6) 的一个简易解是 ${\displaystyle A=0}$ 。可是，这样，波函数是 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0}$ 。这意味着一个不可能的物理答案：粒子不在阱内！所以，不能接受这简易解。设定 ${\displaystyle A\ne <!--\; \ne \; -->0}$ ，则 ${\displaystyle \sin <!--\; \; -->(kL)=0}$ 。那么，必须要求

其中，整数 ${\displaystyle n>0}$ 。

注意到 ${\displaystyle n=0}$ 状况必须被排除，因为，不能容许波函数是 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0}$ 的物理答案：粒子不在阱内！

为了求得 ${\displaystyle A}$ 值，波函数需要归一化，一个粒子必须存在于整个一维空间的某地方：

常数 ${\displaystyle A}$ 的值为

常数 ${\displaystyle A}$ 可以是任何复数，只要绝对值等于${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{L}}}$ ；可是，这些不同值的 ${\displaystyle A}$ 都对应于同样的物理状态。所以，为了方便计算，选择 ${\displaystyle A=\sqrt{\frac{2}{L}}}$ 。

最后，将方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b) 。一维无限深方形阱问题的能量本征方程与能量本征值（能级）是

能量本征值的公式可以启发地被推导出来。试想，两个阱壁必定是波函数的波节。这意味着，阱宽必须刚好能够容纳半个波长的整数倍：

其中，${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$ 是波长，${\displaystyle n}$ 是正值的整数。

应用德布罗意假说，粒子的动量 ${\displaystyle p}$ 是

代入联系能量与动量的经典公式，则可以得到系统的能量本征值。

一个粒子束缚于二维无限深方形阱内，阱宽在 ${\displaystyle x}$ 与 ${\displaystyle y}$ 方向，分别为 ${\displaystyle L_x}$ ，${\displaystyle L_y}$ 。阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（ ${\displaystyle x}$ 与 ${\displaystyle y}$ 方向）。二维无限深方形阱的本征函数 ${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{n_x,n_y}}$ 与本征值 ${\displaystyle E_{n_x,n_y}}$ 分别为

其中，${\displaystyle n_x}$ 与 ${\displaystyle n_y}$ 是正值的整数。

在这二维的问题里，粒子束缚于一个二维位势阱内，在阱内，二维的解答方程与方程 (2) 类似，是一个二阶偏微分方程：

应用分离变数法 。首先，假设 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,y)}$ 是两个不相关的函数 ${\displaystyle X(x)}$ 与 ${\displaystyle Y(y)}$ 的乘积，${\displaystyle X(x)}$ 只含有变数 ${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle Y(y)}$ 只含有变数 ${\displaystyle y}$ ：

将 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,y)}$ 的假设方程代入二维方程，则可得到

将这方程两边都除以 ${\displaystyle XY}$ ，则可得到

由于方程左边圆括号内的两个项目 ${\displaystyle \frac{X^{″}}{X}}$ 、${\displaystyle \frac{Y^{″}}{Y}}$ 分别只跟 ${\displaystyle x}$ 、${\displaystyle y}$ 有关，两个项目分别都必须等于常数：

其中，${\displaystyle E_x}$ 与 ${\displaystyle E_y}$ 都是常数，${\displaystyle E_x+E_y=E}$ 。

这样，可以得到两个约化的一维薛定谔方程：

前面，已经解析了同样形式的一维薛定谔方程（方程 (2) ）。将那里的答案移接到这里，

其中，整数 ${\displaystyle n_x=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->}$ ，${\displaystyle n_y=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->}$ 。

将两个方程合并，可以得到解答：

同样地，应用分离变数法于三维阱问题，可以得到能量本征函数与能量本征值：

其中，${\displaystyle n_i=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->}$ 。

当两个以上的阱宽相等的时候，对应于同样的总能量，会存在有多个不同的波函数。这状况称为简并，是由物理系统的对称性造成的。例如，假设 一个三维阱的 ${\displaystyle L_x=L_y}$ ，则 ${\displaystyle n_x=2}$ ，${\displaystyle n_y=1}$ ，${\displaystyle n_z=1}$ 的波函数与 ${\displaystyle n_x=1}$ ，${\displaystyle n_y=2}$ ，${\displaystyle n_z=1}$ 的波函数，两个波函数的能量相等。由于在这物理系统里，有两个阱宽相等，这物理系统对称于绕着 z-轴的 ${\displaystyle {90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}$ 旋转。