这个条目给出了二次互反律的证明。

对于两个奇素数${\displaystyle p,q}$，${\displaystyle \left(\frac{p}{q}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{q}{p}\right)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\frac{(p-<!--\; -\; -->1)(q-<!--\; -\; -->1)}{4}}}$。其中，${\displaystyle \left(\frac{p}{q}\right)}$是勒让德符号。

设${\displaystyle p}$是一个奇素数并且${\displaystyle a\not\equiv 0\mathrm{mod}p}$。对于每个${\displaystyle k=1,2,...,\frac{p-<!--\; -\; -->1}{2}}$，这样定义${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k}$和${\displaystyle r_k}$：

${\displaystyle ak\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k{r}_k\mathrm{mod}p}$，其中，${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k=\pm <!--\; \pm \; -->1}$。通过分别考虑${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k=1}$和${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k=-<!--\; -\; -->1}$的情况，易证每个${\displaystyle r_k}$都两两不等。

现在考虑${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\prod <!--\; \prod \; -->}}ak\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{r}_k\mathrm{mod}p}$。因为每个${\displaystyle r_k}$都两两不等，所以${\displaystyle \{r_1,r_2,...,r_{\frac{p-<!--\; -\; -->1}{2}}\}}$就是${\displaystyle \{1,2,...,\frac{p-<!--\; -\; -->1}{2}\}}$的一个重排列。所以我们得到${\displaystyle a^{\frac{p-<!--\; -\; -->1}{2}}\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\prod <!--\; \prod \; -->}}k\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\prod <!--\; \prod \; -->}}k\mathrm{mod}p}$，因此${\displaystyle a^{\frac{p-<!--\; -\; -->1}{2}}\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k\mathrm{mod}p}$。

现在考虑${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k}$的正负情况。${\displaystyle ak\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k{r}_k\mathrm{mod}p}$等价于${\displaystyle ak={\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k{r}_k+bp,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}$。若${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k=1}$，则有${\displaystyle ak=r_k+bp}$。注意到，将等式两边同时乘2得到${\displaystyle 2ak=R_k+B_{k}p}$，其中，可以发现${\displaystyle B_k}$是偶数，而${\displaystyle \lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{2ak}{p}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->=\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{R_k}{p}+B_k\rfloor <!--\; \rfloor \; -->=B_k}$也是偶数。同理可证若${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k=-<!--\; -\; -->1}$，${\displaystyle B_k=2b+1}$，而${\displaystyle \lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{2ak}{p}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}$是奇数。据此，可以知道${\displaystyle \mathrm{sgn}<!--\; \; -->(r_k)=\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{2ak}{p}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}$，其中${\displaystyle \mathrm{sgn}<!--\; \; -->(r_k)}$是${\displaystyle r_k}$的符号，也就是${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k=1}$还是${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k=-<!--\; -\; -->1}$。

所以${\displaystyle a^{\frac{p-<!--\; -\; -->1}{2}}\equiv <!--\; \equiv \; -->(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->2ak/p\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}\mathrm{mod}p}$。又由欧拉准则知${\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->a^{\frac{p-<!--\; -\; -->1}{2}}\mathrm{mod}p}$，所以${\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->2ak/p\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}}$。

如果${\displaystyle a}$是奇数，同时考虑勒让德符号的性质${\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)=\left(\frac{ab}{p}\right)}$，可知${\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{2}{p}\right)=\left(\frac{2a+2p}{p}\right)=\left(\frac{4\left(\frac{a+p}{2}\right)}{p}\right)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{2\left(\frac{a+p}{2}\right)k}{p}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{ak}{p}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}k}=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{ak}{p}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}(-<!--\; -\; -->1{)}^{\frac{p^2-<!--\; -\; -->1}{8}}}$，其中最后一步利用了等差数列的求和公式。

但是，当${\displaystyle a=1}$时，由上式可得${\displaystyle \left(\frac{2}{p}\right)=\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{2}{p}\right)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{k}{p}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}(-<!--\; -\; -->1{)}^{\frac{p^2-<!--\; -\; -->1}{8}}=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\frac{p^2-<!--\; -\; -->1}{8}}}$，所以${\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{ak}{p}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}}$。

现在令${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$为奇素数，可得${\displaystyle \left(\frac{q}{p}\right)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{qk}{p}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}}$以及${\displaystyle \left(\frac{p}{q}\right)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{l=1}{\overset{(q-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{pl}{q}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}}$，

所以${\displaystyle \left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{qk}{p}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->+\underset{l=1}{\overset{(q-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{pl}{q}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}}$。

现在考虑右边这幅图：设${\displaystyle A=\underset{l=1}{\overset{(q-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{pl}{q}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->,B=\underset{k=1}{\overset{(p-<!--\; -\; -->1)/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->\frac{qk}{p}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}$，则${\displaystyle A}$代表了三角形A中的格点个数，${\displaystyle B}$代表了三角形B中的格点个数。它们加在一起等于整个${\displaystyle p\times <!--\; \times \; -->q}$长方形的格点个数的四分之一。需要注意的是由于${\displaystyle p,q}$互素，所以对角线上不可能有格点。

由于整个长方形的格点个数是${\displaystyle (p-<!--\; -\; -->1)(q-<!--\; -\; -->1)}$，所以${\displaystyle A+B=\frac{(p-<!--\; -\; -->1)(q-<!--\; -\; -->1)}{4}}$，即得${\displaystyle \left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\frac{(p-<!--\; -\; -->1)(q-<!--\; -\; -->1)}{4}}}$。