数学上，在黎曼流形和之间的一个（光滑）映射，称为调和映射，如果这个映射是狄利克雷能量泛函

的一个临界点。

试想像是橡胶做的，是大理石做的，形状由其度量决定，而映射φ:→给出把橡胶“贴附”在大理石上的方式。(φ)就表示因橡胶的张力产生的弹性位能。用这个比喻，φ称为调和映射，如果把橡胶“松开”，但仍限制要处处与大理石接触时，那么橡胶已经在平衡的位置，所以不会“缩回”到另一个形状。

从完备黎曼流形到非正截面曲率的完备黎曼流形存在调和映射，这个结果是Eells & Sampson (1964)证出。

给出黎曼流形(,), (,)和映射φ:→，定义φ在中一点上的能量密度为

其中${\displaystyle \Vert <!--\; \Vert \; -->d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2}$⊗φ−1上的导出度量而取。能量是能量密度在上的积分

其中dv是上由度量导出的测度。这是古典狄利克雷能量的推广。

能量密度可以更明确地表作

用爱因斯坦求和约定，上式右方在局部座标中可表示为：

当是紧致时，则φ称为调和映射，若φ是能量泛函的一个临界点。这个定义可以延伸至不是紧致的情况：φ称为调和映射，若φ限制到任一个紧致区域上都是调和映射，换一个更通常的说法，就是若在索伯列夫空间1,2(,)中φ是能量泛函一个临界点。

调和映射的另一个等价定义，就是φ满足与泛函对应的欧拉-拉格朗日方程：

其中∇是向量丛⊗φ−1上由和的列维-奇维塔联络导出的联络。式中τ(φ)是向量丛φ−1(TN)的截面，称为φ的张力场。用上文的物理比喻来说，τ(φ)是“橡胶”流形要使能量极小化时在中拟欲移动的方向。

对于两个度量空间之间的映射 : → 这个比黎曼流形弱的场合，能量积分也有相应的推广。（Jost 1995）这时用以下形式的函数代替能量积分：

其中με
是依附在每一点上的测度族。