一个正整数可以写成一些正整数的和。在数论上，跟这些和式有关的问题称为整数拆分、整数剖分、整数分割、分割数或切割数(英语：Integer partition)。其中最常见的问题就是给定正整数 n {\displaystyle n} ，求不同数组 ( a 1 , a 2 , . . . , a k ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{k})} 的数目，符合下面的条件：

分割函数p(n)是求符合以上第一、二个条件的数组数目。

4可以用5种方法写成和式：4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。因此 p ( 4 ) = 5 {\displaystyle p(4)=5} 。

定义 p ( 0 ) = 1 {\displaystyle p(0)=1} ，若n为负数则 p ( n ) = 0 {\displaystyle p(n)=0} 。

此函数应用于对称多项式及对称群的表示理论等。

分割函数p(n)，n从0开始：

每种分割方法都可用Ferrers图示表示。

Ferrers图示是将第1行放 a 1 {\displaystyle a_{1}} 个方格，第2行放 a 2 {\displaystyle a_{2}} 个方格……第 k {\displaystyle k} 行放 a k {\displaystyle a_{k}} 个方格，来表示整数分割的其中一个方法。

借助Ferrers图示，可以推导出许多恒等式：

证明：将表示前者其中一个数组的Ferrers图示沿对角线反射，便得到后者的一个数组。即两者一一对应，因此其数目相同。

例如 k=3，n=6：

此外，

例如 n = 8 {\displaystyle n=8} ：

p ( n ) {\displaystyle p(n)} 的生成函数是

当|x|<1，右边可写成：

p ( n ) {\displaystyle p(n)} 生成函数的倒数为欧拉函数，利用五边形数定理可得到以下的展开式：

将 p ( n ) {\displaystyle p(n)} 生成函数配合五边形数定理，可以得到以下的递归关系式

其中 q i {\displaystyle q_{i}} 是第 i {\displaystyle i} 个广义五边形数。

一个杨氏矩阵与一个整数分拆一一对应，也就是说整数分拆的个数等于相应的杨氏矩阵的个数。如图表示一个10=5+4+1的分拆。利用杨氏矩阵来表示的 分拆更具有直观性，和可处理性，下面是几个例子。

整数分拆（10=5+4+1）对应的杨氏矩阵沿x=y轴翻转得到新的杨氏矩阵。它对应分拆为10=3+2+2+2+1。

渐近式：

这式子是1918年哈代和拉马努金，以及1920年J. V. Uspensky独立发现的。

1937年，Hans Rademacher得出一个更佳的结果：

其中

( m , n ) = 1 {\displaystyle (m,n)=1} 表示 m , n {\displaystyle m,n} 互质时才计算那项。 s ( m , k ) {\displaystyle s(m,k)} 表示戴德金和。这条公式的证明用上了和戴德金η函数、福特圆（英语：Ford circle）、法里数列、模群（英语：Modular group）。

在将 n {\displaystyle n} 表示成正整数之和的所有和式之中，任意正整数 r {\displaystyle r} 作为和项出现在这些式子内的次数，跟每条和式中出现 r {\displaystyle r} 次或以上的正整数数目，相同。

当 r = 1 {\displaystyle r=1} 时，此定理又称为Stanley定理。

以 n = 5 {\displaystyle n=5} 为例：

以下叙述带有附加条件的分拆。

考虑满足下面条件分拆

及分拆的每个数都不相等。

生成函数是

考虑满足下面条件分拆

生成函数是

差分拆的个数与奇分拆的个数是一样多的。

可以通过杨表证明。

当限定将 n {\displaystyle n} 表示成刚好 k {\displaystyle k} 个正整数之和时，可以表示为 p k ( n ) {\displaystyle p_{k}(n)} 。显然， p ( n ) = ∑ k = 1 n p k ( n ) {\displaystyle p(n)=\sum _{k=1}^{n}p_{k}(n)} 。

不少数学家亦有研究按以下方式分拆的方法数目：