返回在牛顿引力场中，粒子运动的拉格朗日量为：

其中 ${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}$—粒子速度， ${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x})}$—牛顿引力势粒子运动方程由最小作用量原理${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}S=\underset{t1}{\overset{t2}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}Ldt=0}$决定：

因此有：${\displaystyle m\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}{dt}+m\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x})=0}$即：${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x})}$，这是牛顿引力场中的粒子运动方程。考虑在牛顿引力场中无压理想流体的运动，则拉格朗日量变为：

其中： ${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$—流体质量密度， ${\displaystyle dV}$—体积元。牛顿引力场本身的拉格朗日量为：

同时考虑引力场和无压理想流体，其总拉格朗日量为：

为了得到引力场的运动方程，只对${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x})}$取变分我们有：

因此有引力场运动方程${\displaystyle {\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$ 。这样，我们有包含引力场和无压理想流体的总拉格朗日密度为：

按照分析力学原理，我们有守恒量---哈密顿量（其中：${\displaystyle \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}}$）为：

其中${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x})}$代表理想流体与引力场的相互作用能，可以将它归为理想流体的能量，也可以把它归为引力场的能量，我们现在把它归为引力场的能量，这时需要从引力场运动方程解出：${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$，代入上式得：

其中： ${\displaystyle \mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}$为包围体积V边界。体积V是全空间。一般我们考虑有限区域的理想流体和引力场的情况，这时边界是无限远处，无限远处的边界条件是 ${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\to <!--\; \to \; -->O(\frac{1}{r^3})}$，${\displaystyle d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}\to <!--\; \to \; -->O(r^2)}$ ，其积${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}\to <!--\; \to \; -->O(\frac{1}{r})}$ ，因此${\displaystyle \underset{\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}=0}$ .考虑到有限区域的理想流体和引力场以及边界条件，我们有：

在分析力学中我们称哈密顿量为能量，因此又可写为：

哈密顿量是守恒量即${\displaystyle \frac{dH}{dt}=0}$ 也即${\displaystyle \frac{dE}{dt}=0}$ 。从上面的结果我们看到： ${\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}$代表理想流体的动能密度${\displaystyle T_m}$ ， ${\displaystyle \frac{1}{8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$代表引力能密度${\displaystyle T_g}$ ，这时我们看到总能量密度是 ${\displaystyle \mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=T_m-<!--\; -\; -->T_g}$，引力能贡献的是负能。当然，如果将相互作用能归为理想流体的能量，则引力能贡献的是正能，数值仍然是${\displaystyle T_g}$ 。返回