在数学里,特别是将线性代数套用到物理时,爱因斯坦求和约定(Einstein summation convention)是一种标记的约定,又称为爱因斯坦标记法(Einstein notation),在处理关于坐标的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的。后来,爱因斯坦与友人半开玩笑地说:“这是数学史上的一大发现,若不信的话,可以试着返回那不使用这方法的古板日子。”
按照爱因斯坦求和约定,当一个单独项目内有标号变数出现两次,一次是上标,一次是下标时,则必须总和所有这单独项目的可能值。通常而言,标号的标值为1、2、3(代表维度为三的欧几里得空间),或0、1、2、3(代表维度为四的时空或闵可夫斯基时空)。但是,标值可以有任意值域,甚至(在某些应用案例里)无限集合。这样,在三维空间里,
的意思是
请特别注意,上标并不是指数,而是标记不同坐标。例如,在直角坐标系里,
、
、
分别表示
坐标、
坐标、
坐标,而不是
、
的平方、
的立方。
爱因斯坦标记法的基本点子是余向量与向量可以形成标量:
通常会将这写为求和公式形式:
在基底变换之下,标量保持不变。当基底改变时,一个向量的线性变换可以用矩阵来描述,而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证,不论基底为何,伴随余向量的线性函数(即上述总和)保持不变。由于只有总和不变,而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变,所以,爱因斯坦提出了这标记法,重复标号表示总和,不需要用到求和符号:
采用爱因斯坦标记法,余向量都是以下标来标记,而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起,大多数涉及的方程式都是线性,不超过变数的一次方。在方程式里,单独项目内的标号变数最多只会出现两次,假若多于两次,或出现任何其它例外,则都必须特别加以说明,才不会造成含意混淆不清。
在线性代数里,采用爱因斯坦标记法,可以很容易的分辨向量和余向量(又称为1-形式)。向量的分量是用上标来标明,例如,
。给予一个
维向量空间
和其任意基底
(可能不是标准正交基),那么,向量
表示为
余向量的分量是用下标来标明,例如,
。给予
的对偶空间
和其任意基底
(可能不是标准正交基),那么,余向量
表示为
采用向量的共变和反变术语,上标表示反变向量(向量)。对于基底的改变,从
改变为
,反变向量会变换为
其中,
是改变基底后的向量的分量,
是改变基底后的坐标,
是原先的坐标,
下标表示共变向量(余向量)。对于基底的改变,从
改变为
,共变向量会会变换为
矩阵
的第
横排,第
竖排的元素,以前标记为
;现在改标记为
。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表示如下:
给予向量
和余向量
,其向量和余向量的内积为标量:
给予矩阵
和向量
,它们的乘积是向量
:
类似地,矩阵
的转置矩阵
,其与余向量
的乘积是余向量
:
矩阵乘法表示为
这公式等价于较冗长的普通标记法:
给予一个方块矩阵
,总和所有上标与下标相同的元素
,可以得到这矩阵的迹
:
M维向量
和N维余向量
的外积是一个M×N矩阵
:
采用爱因斯坦标记式,上述方程式可以表示为
由于
和
代表两个不同的标号,在这案例,值域分别为M和N,外积不会除去这两个标号,而使这两个标号变成了新矩阵
的标号。
一般力学及工程学会用互相标准正交基的基底向量
、
及
来描述三维空间的向量。
把直角坐标系的基底向量
、
及
写成
、
及
,所以一个向量可以写成:
根据爱因斯坦求和约定,若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标,则此项代表着所有可能值之总和:
由于基底是标准正交基,
的每一个分量
,所以,
两个向量
与
的内积是
由于基底是标准正交基,基底向量相互正交归一:
其中,
就是克罗内克函数。当
时,则
,否则
。
逻辑上,在方程式内的任意项目,若遇到了克罗内克函数
,就可以把方程式中的标号
转为
或者把标号
转为
。所以,
采用同样的标准正交基
、
及
,两个向量
与
的叉积,以方程式表示为
注意到
其中,张量
是列维-奇维塔符号,定义为
所以,
设定
,那么,
所以,
在欧几里得空间
里,共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量;对于所有向量
,通过下述方程式,向量
唯一地确定了余向量
:
逆过来,通过上述方程式,每一个余向量
唯一地确定了向量
。由于这向量与余向量的相互辨认,我们可以提到向量的共变分量和反变分量;也就是说,它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。
给予
的一个基底
,则必存在一个唯一的对偶基底
,满足
其中,张量
是克罗内克函数。
以这两种基底,任意向量
可以写为两种形式
其中,
是向量
对于基底
的反变分量,
是向量
对于基底
的共变分量,
在欧几里得空间
里,使用内积运算,能够从向量求得余向量。给予一个可能不是标准正交基的基底,其基底向量为
、
、
,就可以计算其对偶基底的基底向量:
其中,
是基底向量
、
、
共同形成的平行六面体的体积。
反过来计算,
其中,
是基底向量
、
、
共同形成的平行六面体的体积。
虽然
与
并不相互标准正交,它们相互对偶:
虽然
与
并不相互标准正交,它们相互对偶:
这样,任意向量
的反变分量为
类似地,共变分量为
这样,
可以表示为
或者,
综合上述关系式,
向量
的共变分量为
其中,
是度规张量。
向量
的反变分量为
其中,
是共轭度规张量。
共变分量的标号是下标,反变分量的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基,或反变基底向量组成的基底是标准正交基,则共变基底与反变基底相互等价。那么,就没有必要分辨共变分量和反变分量,所有的标号都可以用下标来标记。
思考维度为
的向量空间
。给予一个可能不是标准正交基的基底
。那么,在
内的向量
,对于这基底,其分量为
、
、...
。以方程式表示,
在这方程式右手边,标号
在同一项目出现了两次,一次是上标,一次是下标,因此,从
等于
到
,这项目的每一个可能值都必须总和在一起。
爱因斯坦约定的优点是,它可以应用于从
用张量积和对偶性建立的向量空间。例如,
,
与自己的张量积,拥有由形式为
的张量组成的基底。任意在
内的张量
可以写为
向量空间
的对偶空间
拥有基底
,遵守规则
其中,
是克罗内克函数。
为了更明确地解释爱因斯坦求和约定,在这里给出几个简单的例子。