抛物面是二次曲面的一种。抛物面有两种：椭圆抛物面和双曲抛物面。椭圆抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：

双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：

当a = b时，曲面称为旋转抛物面，它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。

椭圆抛物面的参数方程为：

高斯曲率为：

平均曲率为：

它们都是正数，在顶点处最大，越远离顶点曲率越小，并趋近于零。

双曲抛物面的参数方程为：

高斯曲率为：

平均曲率为：

如果把双曲抛物面

顺着+z的方向旋转π/4的角度，则方程为：

如果   a = b {\displaystyle \ a=b} ，则简化为：

最后，设 a = 2 {\displaystyle a={\sqrt {2}}} ，我们可以看到双曲抛物面

与以下的曲面是全等的：

因此它可以视为乘法表的几何表示。

两个 R 2 → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } 函数

和

是调和共轭，它们在一起形成解析函数

它是 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } 函数   f ( x ) = 1 2 x 2 {\displaystyle \ f(x)={1 \over 2}x^{2}} 的解析延拓。