复分析是研究复变函数，特别是亚纯函数和复变解析函数的数学理论。

研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。复变分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。

复变函数，是自变量和应变量皆为复数的函数。更确切的说，复变函数的值域与定义域都是复平面的子集。在复变分析中，自变量又称为函数的“宗量”。

对于复变函数，自变量和应变量可分成实部和虚部:

用另一句话说，就是函数${\displaystyle f(z)}$的子集。 设${\displaystyle C}$内部的点${\displaystyle a}$的积分。

在复变分析中，一个复平面的开子集${\displaystyle D}$，以及中的一点${\displaystyle a}$是复平面${\displaystyle C}$中一点，${\displaystyle f:U-<!--\; -\; -->\left\{a\right\}\to <!--\; \to \; -->C}$是复平面上的一个单连通开子集，₁、……、是复平面上有限个点，是定义在 \ {₁、……、}的全纯函数。如果γ是一条把₁、……、包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个，并且其起点与终点重合，那么：

一些难于计算的实函数的积分可以通过转化为复变函数，然后利用留数定理来进行计算。