三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式为

其中${\displaystyle a,b,c,d(\ne <!--\; \ne \; -->0)}$是属于一个域的数字，通常这个域为R或C。

本条目只解释一元三次方程，而且简称之为三次方程。

中国唐朝数学家王孝通在武德九年（626年）前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。

波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。

在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如${\displaystyle x^3+mx=n}$的方程。事实上，如果我们允许${\displaystyle m,n}$是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。

尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算，但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是复数的发现者。

红色字体部分为判别式${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}$。

当${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}>0}$时，方程有一个实根和两个共轭复根；

当${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=0}$时，方程有三个实根：当

时，方程有一个三重实根；

当

时，方程的三个实根中有两个相等；

当时，方程有三个不等的实根。

${\displaystyle a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0}$，其中${\displaystyle a\ne <!--\; \ne \; -->0}$。

若令，则

${\displaystyle x_1=-<!--\; -\; -->\frac{b}{3a}+2\sqrt{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\cos <!--\; \; -->}$

${\displaystyle x_2=-<!--\; -\; -->\frac{b}{3a}+2\sqrt{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\cos <!--\; \; -->}$

${\displaystyle x_3=-<!--\; -\; -->\frac{b}{3a}+2\sqrt{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\cos <!--\; \; -->}$

令${\displaystyle K}$为域，可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根${\displaystyle r}$，然后把方程${\displaystyle a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$除以${\displaystyle x-<!--\; -\; -->r}$，就得到一个二次方程，而我们已会解二次方程。

在一个代数封闭域，所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域，这是代数基本定理的结果。

解方程步骤：

接下来，${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$是${\displaystyle U}$和${\displaystyle V}$的立方根，适合${\displaystyle uv=-<!--\; -\; -->\frac{p}{3}}$，${\displaystyle z=u+v}$，最后得出${\displaystyle x=z-<!--\; -\; -->\frac{b^{\prime }}{3}}$。

在域${\displaystyle \mathbb{C}}$里，若${\displaystyle u_0}$和${\displaystyle v_0}$是立方根，其它的立方根就是${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{u}_0}$和${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{u}_0}$，当然还有${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{v}_0}$和${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{v}_0}$，其中${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=e^{\frac{2i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}}=\frac{-<!--\; -\; -->1+\sqrt{3}i}{2}}$，是1的一个复数立方根。

因为乘积${\displaystyle uv=-<!--\; -\; -->\frac{p}{3}}$固定，所以可能的${\displaystyle (u,v)}$是${\displaystyle (u_0,v_0)}$，${\displaystyle (\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{u}_0,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{v}_0)}$和${\displaystyle ({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{u}_0,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{v}_0)}$。因此三次方程的其它根是${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{u}_0+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{v}_0-<!--\; -\; -->\frac{b^{\prime }}{3}}$和${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{u}_0+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{v}_0-<!--\; -\; -->\frac{b^{\prime }}{3}}$。

最先尝试解的三次方程是实系数（而且是整数）。因为实数域并非代数封闭，方程的根的数目不一定是3个。所遗漏的根都在${\displaystyle \mathbb{C}}$里，就是${\displaystyle \mathbb{R}}$的代数闭包。其中差异出现于${\displaystyle U}$和${\displaystyle V}$的计算中取平方根时。取立方根时则没有类似问题。

可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$，

注意到实系数三次方程至少有一实根存在，这是因为非常数多项式在${\displaystyle +\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$和${\displaystyle -<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$的极限是无穷大，对奇次多项式这两个极限异号，又因为多项式是连续函数，所以从介值定理可知它在某点的值为0。

解${\displaystyle 2t^3+6t^2+12t+10=0}$。

我们依照上述步骤进行：

该方程的另外两个根：

这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。

方程是${\displaystyle x^3-<!--\; -\; -->15x-<!--\; -\; -->4=0}$。

从函数${\displaystyle x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->x^3-<!--\; -\; -->15x-<!--\; -\; -->4}$算出判别式的值，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做，做第三步：${\displaystyle x=u+v}$，${\displaystyle U=u^3}$，${\displaystyle V=v^3}$。

${\displaystyle U}$和${\displaystyle V}$是${\displaystyle X^2-<!--\; -\; -->4X+125=0}$的根。这方程的判别式已算出是负数，所以只有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。

我们解出${\displaystyle U=2-<!--\; -\; -->11\mathrm{i}}$和${\displaystyle V=2+11\mathrm{i}}$。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部：现设${\displaystyle u=a+b\mathrm{i}}$。

得到${\displaystyle a=2}$和${\displaystyle b=-<!--\; -\; -->1}$，也就是${\displaystyle u=2-<!--\; -\; -->\mathrm{i}}$，而${\displaystyle v}$是其共轭：${\displaystyle v=2+\mathrm{i}}$。

归结得${\displaystyle x=u+v=(2-<!--\; -\; -->\mathrm{i})+(2+\mathrm{i})=4}$，可以立时验证出来。

其它根是${\displaystyle x^{\prime }=j(2-<!--\; -\; -->\mathrm{i})+j^2(2+\mathrm{i})=-<!--\; -\; -->2+\sqrt{3}}$和${\displaystyle x^{″}=j^2(2-<!--\; -\; -->\mathrm{i})+j(2+\mathrm{i})=-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->\sqrt{3}}$，其中${\displaystyle j=\frac{-<!--\; -\; -->1+\sqrt{3}i}{2}}$。

当${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}$是负，${\displaystyle U}$和${\displaystyle V}$共轭，故此${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$也是（要适当选取立方根，记得${\displaystyle uv=-<!--\; -\; -->\frac{p}{3}}$）；所以我们可确保${\displaystyle x}$是实数，还有${\displaystyle x^{\prime }}$和${\displaystyle x^{″}}$。

${\displaystyle a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0,a\ne <!--\; \ne \; -->0}$，其中系数皆为实数。

重根判别式：${\displaystyle A=b^2-<!--\; -\; -->3ac,B=bc-<!--\; -\; -->9ad,C=c^2-<!--\; -\; -->3bd}$；

总判别式：${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=B^2-<!--\; -\; -->4AC}$。

${\displaystyle x_1=x_2=x_3=\frac{-<!--\; -\; -->b}{3a}=\frac{-<!--\; -\; -->c}{b}=\frac{-<!--\; -\; -->3d}{c}}$。

让${\displaystyle y_{1,2}=Ab+3a\left(\frac{-<!--\; -\; -->B\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{B^2-<!--\; -\; -->4AC}}{2}\right)}$，得：

${\displaystyle x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\left(\sqrt[3]{y_1}+\sqrt[3]{y_2}\right)}{3a}}$；

${\displaystyle x_2=\frac{-<!--\; -\; -->2b+\left(\sqrt[3]{y_1}+\sqrt[3]{y_2}\right)+\sqrt{3}\left(\sqrt[3]{y_1}-<!--\; -\; -->\sqrt[3]{y_2}\right)\mathrm{i}}{6a}}$；

${\displaystyle x_3=\frac{-<!--\; -\; -->2b+\left(\sqrt[3]{y_1}+\sqrt[3]{y_2}\right)-<!--\; -\; -->\sqrt{3}\left(\sqrt[3]{y_1}-<!--\; -\; -->\sqrt[3]{y_2}\right)\mathrm{i}}{6a}}$。

让${\displaystyle k=\frac{B}{A}(A\ne <!--\; \ne \; -->0)}$，得：

${\displaystyle x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b}{a}+k}$；

${\displaystyle x_2=x_3=\frac{-<!--\; -\; -->k}{2}}$。

让，得：

${\displaystyle x_1=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->2\sqrt{A}\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{3}}{3a}}$；

${\displaystyle x_2=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{A}\left(\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{3}+\sqrt{3}\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{3}\right)}{3a}}$；

${\displaystyle x_3=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{A}\left(\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{3}-<!--\; -\; -->\sqrt{3}\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{3}\right)}{3a}}$。

设${\displaystyle y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$

将其微分，可得${\displaystyle \frac{dy}{dx}=3a{x}^2+2bx+c}$

设${\displaystyle \frac{dy}{dx}=0}$，可得${\displaystyle x}$在${\displaystyle y}$中的极值（极大值或极小值）${\displaystyle x_e}$满足：

${\displaystyle 3a{x}_e^2+2b{x}_e+c=0}$

${\displaystyle x_e=\frac{-<!--\; -\; -->2b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{4b^2-<!--\; -\; -->12ac}}{6a}=\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->3ac}}{3a}}$

将${\displaystyle x_e=\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->3ac}}{3a}}$代入${\displaystyle y}$，可得${\displaystyle y}$的极值${\displaystyle y_e}$：

${\displaystyle y_e=a{\left(\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->3ac}}{3a}\right)}^3+b{\left(\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->3ac}}{3a}\right)}^2+c\left(\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->3ac}}{3a}\right)+d}$

${\displaystyle y_e=d+\frac{2b^3-<!--\; -\; -->9abc\pm <!--\; \pm \; -->\left(2b^2-<!--\; -\; -->6ac\right)\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->3ac}}{27a^2}}$

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=6ax+2b}$

设${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0}$，可得${\displaystyle y}$。

${\displaystyle x=-<!--\; -\; -->\frac{b}{3a}}$

由函数取极值的充分条件可知：
，${\displaystyle x_e}$是${\displaystyle f(x)}$的极大值点；
${\displaystyle f^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(x_e)>0}$，${\displaystyle x_e}$是${\displaystyle f(x)}$的极小值点；
${\displaystyle f^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(x_e)=0}$，${\displaystyle x_e}$是${\displaystyle f(x)}$的拐点。

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=6ax+2b=2(3ax+b)}$可知：
，${\displaystyle y}$的驻点为极大值点；
${\displaystyle 3a{x}_e+b>0}$，${\displaystyle y}$的驻点为极小值点；
${\displaystyle 3a{x}_e+b=0}$，${\displaystyle y}$的驻点为拐点。