三角不等式是数学上的一个不等式，表示从A到B再到C的距离永不少于从A到C的距离；亦可以说是两项独立物件的量之和不少于其和的量。它除了适用于三角形之外，还适用于其他数学范畴及日常生活中。

在三角形ABC中，这个式子用标量可以写作${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}\ge <!--\; \ge \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$。

当该式取不等号时，可以由欧几里得第五公设导出；欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20：（证明所用的辅助图像见右）

现在，我们有三角形ABC。延长${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}}$至点D，并使${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BD}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$，联结${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DC}}$。

那么，三角形BCD为等腰三角形，所以${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BDC=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BCD}$。记它们均为${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$。

根据欧几里得第五公设，角${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$也就是${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ACD}$大于角${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$（${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BCD}$，也就是${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BDC}$）；

由于角${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$对应边${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AD}}$，角${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$对应边${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$，因此${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AD}>\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$（大角对大边，命题19）。

又由于${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DB}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$，所以${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AD}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BD}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}>\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$，即证。

如果我们将该式左右各减去${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$，便能得到${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}>\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}}$，这便是三角不等式的另一种表达方法：三角形的两边之差小于第三边。

当该式取等号的时候，其已经不属于欧氏几何的范畴，这种情况只有可能在球面三角形中出现，此时${\displaystyle \left|a-<!--\; -\; -->b\right|\le <!--\; \le \; -->c\le <!--\; \le \; -->a+b}$，而a, b, c为三角形三边的长。

用向量的写法，这个不等式可以写成：

上式和标量的写法明显是等价的。

考虑到${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}}$，该式也可以写成：${\displaystyle \left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|\le <!--\; \le \; -->\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right|+\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|}$，这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。

如果根据向量构建平面直角坐标系，则可以用代数的方式予以证明。

还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中，向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}}$的方向向量为${\displaystyle (x_1,y_1)}$，向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}}$的方向向量为${\displaystyle (x_2,y_2)}$，

那么因为${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}}$，得向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}}$的方向向量为${\displaystyle (x_1+x_2,y_1+y_2)}$。

因此，${\displaystyle \left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right|+\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$，${\displaystyle \left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\right|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2+(y_1+y_2{)}^2}}$。

所以，${\displaystyle \left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right|+\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|-<!--\; -\; -->\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\right|=2\sqrt{x_1^2{x}_2^2+x_1^2{y}_2^2+x_2^2{y}_1^2+y_1^2{y}_2^2}-<!--\; -\; -->2x_1{x}_2-<!--\; -\; -->2y_1{y}_2}$。

而${\displaystyle (2\sqrt{x_1^2{x}_2^2+x_1^2{y}_2^2+x_2^2{y}_1^2+y_1^2{y}_2^2}{)}^2=4x_1^2{x}_2^2+4x_1^2{y}_2^2+4x_2^2{y}_1^2+4y_1^2{y}_2^2}$，${\displaystyle (2x_1{x}_2+2y_1{y}_2{)}^2=4x_1^2{x}_2^2+8x_1{x}_2{y}_1{y}_2+4y_1^2{y}_2^2}$，

两者相减再配方，得到${\displaystyle (2x_1{y}_2-<!--\; -\; -->2x_2{y}_1{)}^2}$，该式实际上是${\displaystyle (\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right|+\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}\right|{)}^2-<!--\; -\; -->(\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\right|{)}^2}$的值。

当且仅当${\displaystyle x_1{y}_2=x_2{y}_1}$时，该式的值为0，而此时我们可以推出${\displaystyle x_1=k{x}_2,y_1=k{y}_2,k\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}}$，这说明${\displaystyle x_1}$和${\displaystyle x_2}$、${\displaystyle y_1}$和${\displaystyle y_2}$都是平行的。而由于${\displaystyle x_1}$，也就是向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}}$的终点和${\displaystyle x_2}$，也就是向量${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}}$的起点是相同的，显然${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}}$和${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}}$共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的，只有在非欧几何的情况下才能成立。用${\displaystyle y_1}$和${\displaystyle y_2}$平行也一样能够推出${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}}$和${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}}$共线。

其他任何情况，也就是${\displaystyle x_1{y}_2\ne <!--\; \ne \; -->x_2{y}_1}$时，该式取到不等号，适用于欧氏几何。

将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量，同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。

在实数中，此式依然成立：${\displaystyle \left|a+b\right|\le <!--\; \le \; -->\left|a\right|+\left|b\right|}$。

证明如下：

考虑到实数的平方必然是非负数，将两边平方，使它剩下一套绝对值符号：

对于（即a, b彼此异号），；

对于${\displaystyle (a,b\le <!--\; \le \; -->0)\vee <!--\; \vee \; -->(a,b\ge <!--\; \ge \; -->0)}$（即a, b彼此同号），${\displaystyle 2ab=\left|2ab\right|}$。

像几何中的情况一样，该式的推论为：${\displaystyle \left|\left|a\right|-<!--\; -\; -->\left|b\right|\right|\le <!--\; \le \; -->\left|a\pm <!--\; \pm \; -->b\right|\le <!--\; \le \; -->\left|a\right|+\left|b\right|}$。

在闵可夫斯基空间，三角不等式是反方向的：

这个不等式的物理例子可以在狭义相对论中的双生子佯谬找到。