数学上,黎曼球面是一种将复平面加上一个无穷远点的扩张,使得下面这类公式至少在某种意义下有意义
它由19世纪数学家黎曼而得名。也称为
从纯代数的角度,复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符,因此扩充复数不构成一个代数域。但是,黎曼球面在几何和解析角度都行为良好,甚至在无穷远点也不例外;它是一个一维复流形,也称黎曼曲面。
复分析中,黎曼球面对于亚纯函数这个优雅的理论很有帮助。黎曼球面在射影几何和代数几何中作为复流形、射影空间和代数簇的基本例子到处出现。它在涉及分析和几何的其他学科也很有用,譬如量子力学和物理学其他分支。
作为一维复流形,黎曼曲面可以由两个图卡描述,每个的定义域都是复数平面。因而该度量必须通过球极投影等度于代表(作为微分流形或者拓扑流形的)球面。按照单值化定理,存在唯一的上的复结构。由此可见,上的度量和球面度量共形等价。所有这样的度量构成一个共形类。因此"圆球"度量不是黎曼球面的内在度量,因为"圆形"并不是共形几何的不变量。黎曼球面只是一个共形流形而非黎曼流形。但是,如果需要用到黎曼球面上的黎曼度量,圆形度量是一个很自然的选择。
理解数学对象的自同构群有助于对该对象的研究,自同构也就是对象到自身保持其基本结构不变的映射。对于黎曼球面,自同构就是黎曼球面到自身的可逆双全纯映射。唯一可能的这样的映射只有莫比乌斯变换。这些变换有如下形式:
其中、、、和为复数,满足.莫比乌斯变换的例子包括膨胀,旋转,平移,和复倒数。事实上,所有莫比乌斯变换可以有这些特例的复合得到。
将莫比乌斯变换视作复射影线上的变换很有益。在射影座标下,变换可以写作
这样,莫比乌斯变换可以表述为行列式非零的复矩阵;两个矩阵产生同样的莫比乌斯变换当且仅当他们只差一个非零常数。这样莫比乌斯变换恰好对应于射影线性变换.
如果赋予黎曼球面富比尼-施图迪度量,则不是所有的莫比乌斯变换是等度的;例如膨胀和平移就不是。等度变换构成的一个子群,也即.该子群同构于旋转群,它是单位球在中的等度群。
复分析中,复平面(或者任何黎曼曲面)上的的亚纯函数是两个全纯函数和的比值.作为到复数的映射,任何为零的地方,它就没有定义。但是,它引出了一个全纯映射到复射影线,甚至在处也有定义。这个构造对于研究全纯和亚纯函数很有用。例如,紧致黎曼曲面上不存在存在非常数复值全纯映射,但是有很多到复射影线上的全纯映射。
黎曼球面有很多物理中的应用。量子力学中,复射影线上的点是光子极化态,自旋为1/2的重亚原子粒子和一般二态粒子的的自旋态的自然取值。黎曼球面被推荐为天体球面的广义相对论模型。弦论中,弦的世界面是黎曼曲面,而黎曼球面作为最简单的黎曼曲面有重要的作用。它在扭子理论中也很重要。