在数学中，魏尔斯特拉斯椭圆函数（Weierstrass's elliptic functions）又称 p 函数并且以 ℘ {\displaystyle \wp } 符号表示，是格外简单的一类椭圆函数，也是雅可比椭圆函数的特殊形式。卡尔·魏尔斯特拉斯首先研究了这些函数。

魏尔斯特拉斯p函数的符号

固定 C {\displaystyle \mathbb {C} } 中的格 Λ = Z ω 1 ⊕ Z ω 2 {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2}} （ ω 1 , ω 2 ∈ C {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} } 在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上线性无关），对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是

显然右式只与格 Λ {\displaystyle \Lambda \,} 相关，无关于基 ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\,} 之选取。 Λ {\displaystyle \Lambda \,} 的元素也称作周期。

另一方面，格 Λ {\displaystyle \Lambda \,} 在取适当的全纯同态 C → C {\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} } 后可表成 Λ = Z ⊕ Z τ {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau } ，其中 τ {\displaystyle \tau \,} 属于上半平面。对于这种形式的格，

反之，由此亦可导出对一般的格之公式

在数值计算方面， ℘ {\displaystyle \wp } 可以由Θ函数快速地计算，方程是

假设 u + v + w = 0 {\displaystyle u+v+w=0} ，上式有一个较对称的版本

此外

魏尔斯特拉斯椭圆函数满足复制公式：若 2 z {\displaystyle 2z} 不是周期，则

定义 g 2 , g 3 {\displaystyle g_{2},g_{3}} （依赖于 Λ {\displaystyle \Lambda } ）为

求和符号 ∑ w ′ {\displaystyle \sum '_{w}} 意谓取遍所有非零的 w {\displaystyle w} 。当 Λ = Z ⊕ Z τ {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau } 时，它们可由艾森斯坦级数 G 4 , G 6 {\displaystyle G_{4},G_{6}} 表示。

则魏尔斯特拉斯椭圆函数满足微分方程

故 z ↦ ( ℘ ( z ) , ℘ ′ ( z ) ) {\displaystyle z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))} 给出了从复环面 C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda } 映至三次复射影曲线 y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 {\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}} 的全纯映射；可证明这是同构。

另一方面，将上式同除以 ℘ ′ {\displaystyle \wp '} ，积分后可得

右侧是复平面上的路径积分，对不同的路径 ℘ ( z 1 ) → ℘ ( z 2 ) {\displaystyle \wp (z_{1})\to \wp (z_{2})} ，其积分值仅差一个 Λ {\displaystyle \Lambda } 的元素；所以左式应在复环面 C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda } 中考虑。在此意义下，魏尔斯特拉斯椭圆函数是某类椭圆积分之逆。

续用上节符号，模判别式 Δ {\displaystyle \Delta } 定义为下述函数

视为周期格的函数，这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。