渐伸线（involute）(或称渐开线(evolvent))和渐屈线（evolute）是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线，曲线B是曲线A的渐屈线。

在曲线上选一定点S。有一动点P由S出发沿曲线移动，选在P的切线上的Q，使得曲线长SP 和直线段长PQ 相同。渐伸线就是Q的轨迹。

若曲线B有参数方程 r : R → R n {\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}} ，其中 | r ′ ( s ) | = 1 {\displaystyle |r^{\prime }(s)|=1} ，曲线A的方程为 t ↦ r ( t ) − t r ′ ( t ) {\displaystyle t\mapsto r(t)-tr^{\prime }(t)} 。

曲线的渐屈线是该曲线每点的曲率中心的集。

若该曲线有参数方程 r : R → R n {\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}} （ | r ′ ( s ) | = 1 {\displaystyle |r^{\prime }(s)|=1} ），则其渐屈线为

每条曲线可有无穷多条渐伸线，但只有一条渐屈线。

渐开线方程曲线的参数化定义的函数( x(t) , y(t) ) 是:

X [ x , y ] = x − x ′ ∫ a t x ′ 2 + y ′ 2 d t x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle X=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}} Y [ x , y ] = y − y ′ ∫ a t x ′ 2 + y ′ 2 d t x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle Y=y-{\frac {y'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}

圆的渐伸线会形成一个类似阿基米德螺线的图形.

其中 a {\displaystyle \,a} 是圆的半径， t {\displaystyle \,t} 为参数

其中 a {\displaystyle \,a} 是圆的半径 α {\displaystyle \,\alpha } 为参数

通常，一个圆的渐开线常被写成写成：

欧拉建议使用圆的渐开线作为齿轮的形状, 这个设计普遍存在于目前使用，称为渐开线齿轮。

一个悬链线的渐开线 会通过此悬链线的顶点 ，形成曳物线。 在笛卡儿坐标系中，一个悬链线的渐开线的参数方程可以写成：

x = t − t a n h ( t ) {\displaystyle x=t-\mathrm {tanh} (t)\,}

y = s e c h ( t ) {\displaystyle y=\mathrm {sech} (t)\,}

其中t 是参数，而sech是双曲正割函数(1/cosh(x))

衍生

用 r ( s ) = ( sinh − 1 ⁡ ( s ) , cosh ⁡ ( sinh − 1 ⁡ ( s ) ) ) {\displaystyle r(s)=(\sinh ^{-1}(s),\cosh(\sinh ^{-1}(s)))\,}

我们得到 r ′ ( s ) = ( 1 , s ) / 1 + s 2 {\displaystyle r^{\prime }(s)=(1,s)/{\sqrt {1+s^{2}}}\,}

且 r ( t ) − t r ′ ( t ) = ( sinh − 1 ⁡ ( t ) − t / 1 + t 2 , 1 / 1 + t 2 ) {\displaystyle r(t)-tr^{\prime }(t)=(\sinh ^{-1}(t)-t/{\sqrt {1+t^{2}}},1/{\sqrt {1+t^{2}}})} .

替代成 t = 1 − y 2 / y {\displaystyle t={\sqrt {1-y^{2}}}/y}

可得到 ( s e c h − 1 ( y ) − 1 − y 2 , y ) {\displaystyle ({\rm {sech}}^{-1}(y)-{\sqrt {1-y^{2}}},y)} .

一个 摆线的渐开线是另一个与它 全等的摆线 在笛卡儿坐标系中，一个摆线的渐开线的参数方程可以写成：

其中 t 是角度， r 是 半径